等差数列求和公式(盘点等差数列题目100道及答案)

最近给一个四年级小朋友讨论等差数列的问题，关于这个话题，我之前也讲过几次，下面是我之前写的关于等差数列的问题。

胡说数学：小学生应该学等差数列吗？怎么学？

胡说数学：孩子们问的数学问题，等差数列能不能不要那么严肃？

之前这两篇内容，除了有自己的想法，更多是和孩子一起碰撞的结果的总结与反思。

很多问题，作为老师，教学多了，又善于站在孩子角度思考问题，愿意倾听孩子的想法，适合孩子的方法自然有了。

今年，给孩子们碰撞过程之中，越来越觉得等差数列的这几个标准公式，不管怎么样你再怎么形象生动给孩子们讲，甚至有老师让孩子牢牢记住公式，暂时性的做题应付一下。

但是很快忘记，有多快？有可能一两天就忘了，这也属于正常现象。

不符合孩子认知规律的东西，我们要付出很多的精力才可能得到，当然，有些的确需要付出很多，但是对于等差数列这个东西，我们能不能换个思路，不一定完全按照大家都一样的标准方式去让孩子理解等差数列。

不要太快，也不要太慢；不要太形象，也不要太抽象；既要考虑实战，也要考虑孩子的理解。

最近给孩子们讨论，发现孩子们比较容易理解与接受的一个设计，其中孩子们功劳也是很大的。

我们先理解：

等差数列中的某一项是多少的问题？

再理解等差数列个数的问题？

最后再理解等差数列求和的问题？

今天，我们每个问题只讨论一个方法，其他的不作讨论！

​一，等差数列求个数（项数）

最特殊的等差数列：

1，2，3，4，……，99，100

这个不用说，有100个数，也是孩子们最擅长的，一年级小朋友就知道。

2，4，6，8，……，98，100有几个数？

50个数，因为相当于1，2，3，4，……，99，100中的双数（偶数），一半，100÷2=50个。

那3，6，9，12，……，96，99有几个数？

33个，可以理解为1，2，3，……98，99中每三个数有一个，也就是99÷3=33。

4，8，12，16，……，96，有几个数？

24个，可以理解为1，2，3，4，……95，96中每4个数有一个，也就是96÷4=24个。

以此类推，大家应该明白，这种特殊的等差数列，孩子们理解起来不费劲，而且是孩子们骨子里本来就有的。

这种具有倍数关系的等差数列，也可以理解为：

2，4，6，8，……，98，100

公差为2，2倍关系，每一个数都除以2，就转化为：

1，2，3，4，……49，50

根据一一对应思想，我们知道下面这个数列有50个数，上面那个也是50个数。

3，6，9，12，……，96，99

公差为3，3倍关系，每一个数都除以3，就转化为：

1，2，3，4，……，32，33

根据一一对应思想，我们知道下面这个数列有33个，上面那个也有33个。

以此类推，所有的这种有倍数关系的等差数列，都很容易转化为以1开头的自然数列：1，2，3，4，……的问题。

但是如果不是倍数关系，而且其他的等差数列呢？

3，5，7，9，……，99，101有几个数？

公差为2，能不能转化为以2开头的倍数关系的等差数列呢？

显然，把数列中的每一个数减去1，也就是：

2，4，6，8，……98，100

这个我们知道，100÷2=50个数，根据一一对应思想，下面这个数列有50个数，上面那个也是50个数。

也就是说，3，5，7，9，……，99，101这个等差数列中的每一个数都是2的倍数多1。

1，4，7，10，……，97，100有几个数？

公差为3，我们就转化为以3开头的3倍关系的等差数列，都加2。

3，6，9，12，……，99，102

有102÷3=34个数，根据一一对应思想，上面那个数列也有34个数。

1，4，7，10，……这个数列中的每一个数都满足3的倍数减2。

孩子们，明白了吗？每一个等差数列，都可以转化为以某一个数为开头的有倍数关系的等差数列，根据一一对应思想，我们就轻松知道等差数列项数的问题。

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二，等差数列求某一项：

我们都知道：

3，6，9，12，……

以3开头的3倍关系的等差数列，很容易知道第几个数是多少？

第10个数就是3×10=30。

第100个数就是3×100=300。

第n个数就是3n

为什么？其实不用解释，低年级小朋友也能理解，不过还是解释一下。

3，6，9，12，……

第一个数是3的1倍，3×1。

第二个数是3的2倍，3×2。

第三个数是3的3倍，3×3

那么，以此类推……

第100个数就是3的100倍，3×100

第几个数就是3的几倍。

接下来就简单了，因为我说过，所有的等差数列都能变成有倍数数列的等差数列。

比如6，9，12，15，……

这个数列公差为3，变成以3为开头的3倍关系的等差数列。

每个数都减3，也就是：

3，6，9，12，……

根据一一对应思想，如果想知道上面那个数列第100个数是多少，只需要知道下面那个数列第100个数，再加3即可。

下面这个第100个数是3×100=300，上面那个第100个数就是300+3=303。

3，6，9，12，……每一个数都是3的倍数。

那么

6，9，12，15，……每一个数都是3倍多3。

1，4，7，10，……每一个数都是3倍少2。

怎么理解？

只要是公差为3的等差数列，都能转化为以3为开头的3倍数列，也就是：

3，6，9，12，……

比

1，4，7，10，……

每一个数都多2，上面数列每一个数都是3的倍数，下面自然数3的倍数减2。

第30个数是：3×30-2=88

第n个数是：3×n-2

再举个例子：

2，6，10，14，……

公差为4，转化为以4为开头的4倍关系，都加2。

4，8，12，16，……每一个数都是4的倍数。

2，6，10，14，……每一个数都满足4的倍数少2。

第50个数是4×50-2=198。

第n个数是4×n-2。

好了，不管怎么样是求项数，还是求某一项，都能把数列理解为倍数关系，这样理解起来应该比背诵公式要更能培养孩子数学思维，化繁为简，一一对应等。

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三，等差数列求和：

这个话题，很多方法，配对求和法，倒序相加法，整数裂项等。

我今天只讲一个，之前也说过，但是没有作为重点，一个学生说这个方法很好理解，也很神奇，没有太多记忆负担。

大家都知道平均数？

根据平均数，也经常去解决总数的问题，总量=平均数×个数。

等差数列能不能用“总数=平均数×个数”，这个大家都知道的数量关系计算呢？

3+5+7+9+11+13+15+17+19

他们的平均数是多少？

先数数有几个数？

9个。

有小朋友知道，平均数就是把这几个数想加，除以9。

但是，等差数列不需要这样，只需要找到中间数就行。

中间数11就是平均数，为什么？

3+19=22两个数的平均数是11。

5+17=22两个数的平均数是11。

7+15=22两个数的平均数是11。

9+13=22两个数的平均数是11。

这些数合在一起平均数自然也是11，只不过让中间数当代表了。

这串数的和，根据平均数×个数可以知道：

11×9=99。

有人可能说你刚才举的例子是单数个（奇数个）的例子，等差数列也有双数（偶数个）的情况。

3+5+7+9+11+13+15+17

这个有8个数，平均数是多少？

没有中间数，有中间两个数9和11。

9+11=20两数平均数是10。

7+13=20两数平均数是10。

5+15=20两数平均数是10。

3+17=20两数平均数是10。

合在一起，平均数10。

根据总和=平均数×个数，可以知道：

和=10×8=80。

如果碰到比较复杂的，我们往往是找不到中间数，或者中间两数的，怎么办？

其实大家刚才已经发现，想要知道一串等差数列的平均数，中间数也不需要找，只需要找“（第一个数+最后一个数）÷2”，就是它的平均数，也就是（首项+末项）÷2作为一串等差数列的平均数。

根据“和=平均数×个数”，可以知道“等差数列的和=（首项+末项）÷2×项数”

1+2+3+4+5+……+99=（1+99）÷2×100即可。

2+4+6+8+……+98+100=（2+100）÷2×50即可。

先想到平均数×个数，再想到平均数怎么找比较简单直接，利用平均数的数量关系求和，思路清晰，简单易懂。

当然了，课内还给了一个配对求和的方法也比较简单，也可以作为思维更一般的小朋友都方法，大致说说。

1+2+3+4+5+……+99+100

还是先数数多少个数？

100个，刚好100÷2=50对。

1+100，2+99，3+98，……每一对都是101。

和是：101×50=5050

刚才有偶数个数，我们也需要研究奇数个数的等差数列怎么办？

2+3+4+5+……+99+100

有99个数，有一个数落单了，配对失败！

怎么办？

凉拌炒鸡蛋，去掉1个数，最好是第一个或者最后一个数，不就行咯，大不了最后再加回来。

那就去掉100吧。

2+3+4+5+……+98+99

98个数，98÷2=49对。

每一对和是101。

和是：49×101=4949

再把刚才100捡回来，4949+100=5049

我喜欢这个方法，贴近课本，操作也快！

所有等差数列也可以这样做了，是不是很香？是不是挺好理解，关键是不太容易忘记，忘记了也能自己推一推。

思维一般的孩子用配对求和，孩子不会有太大心理负担，稍微好一点的可以试着平均数的方法，当然你要是说我记忆力牛，那你就直接背公式，我是不拦你，每一个孩子学*方式，认知水平都不一样，我不会说哪个好，哪个不好，适合的才是最好的。

今天换了一个思路给大家说说等差数列，也是我最近会给四年级孩子们传达的。小学生还是不要把重心过多放在孩子理解起来困难的地方，你可以讲，如果孩子真的不理解我们也不能怪孩子，就当做孩子经历过就好，不妨换种思路让孩子接受，真没招，也可以暂时搁浅。

有时候等差数列不一定非得按照大家都遵守的方式去理解，有时候貌似慢一点，笨一点的方法对孩子的学*反而更容易提升，因为学*有阶梯，我们先让孩子上去，不管什么方式。